Лекция 7.

§14. Аналитическое продолжение с действительной оси.

1.Элементарные функции комплексной переменной

Лекция 8

2.Аналитическое продолжение соотношений.

3.Понятие Римановой поверхности как области задания обратной многозначной функции для многолистной функции на примере функций w = f(z) = e^z и z = Ln(w).

4. Понятие точки ветвления.

(g), принимающая заданные значения f(x) на x[a,b]. Если такая f(z)

Элементарные функции действительной переменной.
sin x= ; cos x=; e^x=;

Целые функции , ,  - единственные аналитические продолжения sin x, cos x, e ^x на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется формула Эйлера:
e^iz =cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.

Лекция 8.

(g) и [a,b]

i

i

$

f(z)= ; 1/ x C( x 0). Интеграл по " пути, (не пересекающему разрез! ) $ и  f(z) C(D0)- аналитическое продолжение

Теорема 14.2
Пусть функции w_i=f_i(z)C(g_i ) и [a _i,b_i]g_i, w_iD_i . И пусть F (z)=F[w₁,..., w_n ] является аналитической функцией каждой из переменных w _iD_i . Тогда из соотношения F[f ₁(x₁),...,f_n(x_n)]=0, x_i[a_i,b_i] (*) =>F[f₁(z₁),...,f_n(z_n)]=0, z_ig_i.
Доказательство. Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное. Фиксируем x њ ₂[a₂,b₂ ] и рассмотрим F ₁(z₁)=F[f₁(z₁),f₂(x њ ₂)]C(g₁ ). По теореме 14.1 из (*) => F ₁(z₁)0, z₁g₁ . Т.к. x њ ₂ - произвольное, то => F[f ₁(z₁),f₂(x₂)]=0, z₁g₁,
x₂[a₂,b₂ ] (**) . Фиксируем z њ ₁g₁ и рассмотрим F ₂(z₂)=F[f₁(z њ ₁),f₂(z₂)]C(g₂ ).
Из (**) => F ₂(z₂)0, z₂g₂ => F[f₁(z њ ₁),f₂(z₂)]=0, z₂g₂ . Т.к. z њ ₁ - любое из g ₁ то F[f ₁(z₁),f₂(z₂)]=0, z₁g₁, z₂g₂. n

Примеры .
1.    sin(z₁+z₂)=sinz₁cosz₂+cosz₁sinz₂ " z₁,z₂ и другие тригонометрические формулы для функций разных аргументов.

3.Понятие Римановой поверхности как области задания обратной многозначной функции для многолистной функции на примере функций w = f(z) = e^z и z = Ln(w).

2. w =f(z)=e^z - аналитическое продолжение e ^x на всю комплексную плоскость. Т.к. e ^x1+x2= e^x1 e^x2=> e^z1+z2= e^z1 e^z2 , в частности e ^z=e^x+iy=e^x e^iy=w => =>|w|=e^x , arg w=y - показательная функция w= e ^z производит отображение прямой y=y ₀ на плоскости z на луч arg w=y ₀ на плоскости w. Полоса g₀(- p <Imz< p )D₀(- p <arg w< p )- плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси, причем граничной прямой Imz=- p соответствует нижний берег разреза, а прямой Imz= p - верхний берег разреза.
Обратная функция z=ln₀ w=x+i y=ln |w|+i arg w.
Аналогично, g ₁( p <Imz<3 p )D₁( p <arg w<3 p ). Чтобы при непрерывном переходе точки z из g ₀ в g ₁ через Imz= p образ этой точки непрерывно переходил из D ₀ в D ₁ надо склеить берега разрезов, соответствующие общему значению arg w= p . Получим новое геометрическое многообразие - двулистную Риманову поверхность, состоящую из листов D ₀ и D ₁.
Аналогично g _n((2n-1) p <Imz<(2n+1) p )D_n((2n-1) p <arg w<(2n+1) p ). Полная комплексная плоскость Z б есконечнолистную Риманову поверхность, склеенную из листов D_n , причем лист D _n склеен с листами D _n+1 и D _n-1 по берегам разрезов на которых arg w принимает одинаковые значения. На этой Римановой поверхности определена обратная функция z=Ln w =ln|w|+iArg w, - < Arg w < .
На обычной комплексной плоскости w функция z=Ln w является бесконечнозначной (многозначной). На каждом листе- определенная ветвь ln_n w. w=e^z=e^Lnw . Функция w=e ^z - периодическая с мнимым периодом 2 p i : e^z= e^{z+2 p i} . e^z- бескончнолистная (многолистная) .

4. Понятие точки ветвления.

Особая роль точки w=0.
При обходе точки w ₀ 0 по достаточно малому замкнутому контуру, мы все время остаемся на одном и том же листе D _n , или возвращаемся на этот лист, дважды пересекая разрез, заходя на D _n-1(D_n+1 ). При этом, после обхода значение ln _n w не изменится.
При обходе точки w=0 мы пересечем разрез только один раз и с одной ветви ln _n w
(ln_n w₀ = ln |w₀|+i arg w₀, (2n-1) p <arg w₀<(2n+1) p ) перейдем надругую ветвь
ln _n-1 w (ln_n-1 w₀ = ln |w₀|+i arg w₀, (2n-3) p <arg w₀<(2n-1) p ).
Точка w=0 - точка ветвления функции z=Ln w. Причем для Ln w точка w=0- точка ветвления бесконечного порядка.
Аналогичными свойствами обладает бесконечно удаленная точка w=w . Определение. Если для точки z₀ можно указать такую e -окрестность, что при однократном обходе точки z ₀ по " замкнутому контуру этой e -окрестности, происходит переход с одной ветви многозначной функции на другую, то точка z ₀ называется точкой ветвления (разветвления) данной многозначной функции.
В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как отдельные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются.
1.    Для функций w=f ₁(z)= и w=f ₂(z)= точки z=0 и точки z= ± 1 соответственно являются точками ветвления второго порядка (Разобрать самостоятельно!).
2.    f(z)=z ^a , где a - " число, действительное или комплексное.
f(z)=e ^{a Lnz}= e ^{a (ln|z|+iArg z)}.
При a =n: e^{in(arg z+2 p k)}= e^{in arg z} => f(z)- однозначная (но многолистная, n-листная.).
При a =n/m - f(z) принимает m различных значений (многозначная).
При a иррациональном или комплексном f(z) принимает бесконечное число значений (многозначная).

1ⁱ=e^iLn1= e^{i(ln|1|+i2 p k)}= e^{-2 p k}, k=0, ±1, ±2 ... .

Тригонометрические функции являются бесконечнолистными периодическими функциями.

Назад

Вверх

Вперед